В учебниках математики за пятый класс много теории, дети к такому еще не привыкли, да и родителям сложно ориентироваться в толстом учебнике при проверке домашнего задания. Уже с самого начала учебника математики автора Мерзляк, Полонский, Якир, за 5 класс, повторяем и систематизируем понятия из начальной школы, вводим новые правила и свойства. Учителя часто задают выучить правила и возвращаются к пройденному снова и снова. Детям и родителям зачастую неудобно выискивать давно пройденное в учебнике, а дети забывают материал и, конечно же, забывают, в какой теме учили нужное правило и на какой странице. Вам в помощь — все правила и определения из этого учебника.
По мере углубления в программу будем добавлять и теорию. Пишите в комментариях, какую тему проходите.
В учебниках математики за пятый класс много теории, дети к такому еще не привыкли, да и родителям сложно ориентироваться в толстом учебнике при проверке домашнего задания. Уже с самого начала учебника математики автора Мерзляк, Полонский, Якир, за 5 класс, повторяем и систематизируем понятия из начальной школы, вводим новые правила и свойства. Учителя часто задают выучить правила и возвращаются к пройденному снова и снова. Детям и родителям зачастую неудобно выискивать давно пройденное в учебнике, а дети забывают материал и, конечно же, забывают, в какой теме учили нужное правило и на какой странице. Вам в помощь — все правила и определения из этого учебника.
По мере углубления в программу будем добавлять и теорию. Пишите в комментариях, какую тему проходите.
Раздел 1 Глава 1
Раздел I. Натуральные числа и действия над ними
Глава 1. Натуральные числа
§ 1. Ряд натуральных чисел
! Числа 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 и т.д., используемые при счете предметов, называют натуральными.
Все натуральные числа, записанные в порядке возрастания, образуют ряд натуральных чисел (или натуральный ряд). Первым числом натурального ряда является единица. В натуральном ряду за каждым числом следует еще одно число, большее предыдущего на единицу. Наибольшего числа нет, поэтому при записи натурального ряда после перечисления нескольких чисел ставят многоточие.
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,…
§ 2. Цифры. Десятичная запись натуральных чисел
Натуральные числа записывают с помощью специальных знаков — цифр. Их 10: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Натуральные числа, записанные одной цифрой называют однозначными, двумя — двузначными, тремя — трехзначными и т.д. Все числа, кроме однозначных, называют многозначными. Многозначное число может начинаться с любой цифры, кроме 0.
Чтобы прочитать многозначное число, цифры его записи разбивают справа налево по 3. Эти группы называют классами. При чтении многозначного числа число, записанное в каждом классе, читают как 3-х,2-х или 1-значное, добавляя название класса. Название класса единиц не произносят.
Каждый класс разбивается справа налево на 3 разряда: единицы, десятки, сотни.
Рисунок 1
Запись натуральных чисел, которой мы пользуемся, называют десятичной, потому что 10 единиц каждого разряда составляют одну единицу следующего разряда.
§ 3. Отрезок. Длина отрезка
Если хорошо заточенным карандашом прикоснуться к листу тетради, получится точка.
Если 2 точки соединить прямой линией, получится отрезок. Крайние его точки называют концами отрезка. Существует единственный отрезок, концами которого являются эти точки. Отрезок обозначают, указывая в любом порядке точки, которые являются его концами. Расстояние между этими точками — это длина отрезка.
Точка и отрезок — геометрические фигуры.
За единичный отрезок можно принять 1 мм, 1 см, 1 дм, 1 м, 1 км и подобные единицы длины.
Измерить отрезок означает подсчитать, сколько единичных отрезков в нем помещается.
! Если на отрезке АВ отметить точку С, то длина отреза АВ равна сумме длин отрезков АС и СВ.
Пишут: АВ = АС + СВ
! Два отрезка называют равными, если они совпадают при наложении.
Пишут: АВ = СД
Равные отрезки имеют равные длины.
Рисунок 2. Равные отрезки, незамкнутая ломаная, замкнутая ломаная.
Длину отрезка АВ называют расстоянием между точками А и В.
Если несколько отрезков последовательно соединить друг с другом, получится ломаная. Концы отрезков при этом станут вершинами ломаной, при этом крайние из них — это концы ломаной, а отрезки, составляющие ломаную — ее звенья.
Длиной ломаной называют сумму длин всех ее звеньев.
Ломаные, концы которых совпадают, называют замкнутыми.
§ 4. Плоскость. Прямая. Луч
Представьте огромный тетрадный лист размером с футбольное поле. Именно так выглядит модель части плоскости. Плоскость бесконечна, ее невозможно изобразить целиком.
Если отрезок на плоскости продлить по линейке в обе стороны неограниченно, получится прямая. Прямая не имеет концов. Она бесконечна. Поэтому на рисунке мы изображаем только часть прямой.
! Через две точки проходит только одна прямая.
Прямую обозначают, называя две любые ее точки в любом порядке, либо одной маленькой латинской буквой.
Пример: прямая АВ, прямая m, прямая n
Рисунок 3
Если разделить прямую на 2 части, обозначив на ней точку О, мы получим 2 луча с началом в точке О. Конца у луча нет.
Луч обозначают двумя прописными буквами, первой записывают начало луча, а второй букву любой другой точки на луче.
Пример: луч ОА, луч ОВ.
Рисунок 4
Прямая и луч — геометрические фигуры.
§ 5. Шкала. Координатный луч
Пример шкалы с ценой деления 1 мм вы можете увидеть на линейке.
Если на луче вправо от точки О отложить равные отрезки и обозначить их концы буквами и цифрами от 0 до бесконечности с шагом 1, получим координатный луч. Точка О изображает число 0. О — начало отсчета. Отрезок от точки до точки — единичный отрезок.
Число под буквой является координатой этой точки.
Пример: число 2 является координатой точки М, записываем: М(2).
Рисунок 5
§ 6. Сравнение натуральных чисел
Сравнить два различных натуральных числа — это значит определить, какое из них больше, а какое меньше. Из двух натуральных чисел меньшее то, которое в натуральном ряду стоит раньше, а большее — то, которое стоит позже. Записи со знаками <,> называют неравенствами.
Число 0 меньше любого натурального числа.
Когда записываю сравнение трех чисел, такую запись называют двойным неравенством.
! Из двух натуральных чисел, имеющих разное количество цифр, бОльшим является то, у которого количество цифр больше.
! Из двух натуральных чисел с одинаковым количеством цифр бОльшим является то, у которого больше первая (при чтении слева направо) из неодинаковых цифр.
На координатном луче точка с меньшей координатой расположена левее точки с большей координатой. На координатном луче из двух натуральных чисел меньшее число расположено левее большего.
Глава 2
Глава 2. Сложение и вычитание натуральных чисел
§ 7. Сложение натуральных чисел. Свойства сложения
В равенстве a + b = c числа a и b называют слагаемыми, число с и запись a + b — суммой.
! Переместительное свойство сложения:
От перестановки слагаемых сумма не меняется.
a + b = b + a
! Сочетательное свойство сложения:
Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел.
(a + b) + c = a + (b + c)
При сложении нескольких чисел слагаемые можно менять местами и заключать их в скобки, тем самым определяя порядок вычислений.
! Особое свойство 0 при сложении:
если одно из двух слагаемых равно 0, то сумма равна другому слагаемому.
а + 0 = а
§ 8. Вычитание натуральных чисел
В равенстве a — b = c число a называют уменьшаемым, число b вычитаемым, число с и запись a — b — разностью.
Разность a — b показывает, на сколько число а больше числа b или на сколько число b меньше числа а.
! Особые свойства нуля при вычитании:
Если вычитаемое равно нулю, то разность равна уменьшаемому.
а — 0 = а
Если уменьшаемое и вычитаемое равны, то разность равна нулю.
а — а = 0
! Правило вычитания суммы из числа:
Чтобы из числа вычесть сумму двух слагаемых, можно из этого числа вычесть одно из слагаемых и потом из результата вычесть другое слагаемое.
а — (b + c) = (а — b) — c
! Правило вычитания числа из суммы:
Чтобы из суммы двух слагаемых вычесть число, можно вычесть это число из одного из слагаемых (если это слагаемое больше или равно вычитаемому) и потом к результату прибавить другое слагаемое.
(а + b) — c = (а — c) + b = (b — с) + а при b ⩾ a, с ⩾ a
§ 9. Числовые и буквенные выражения. Формулы
Числовое выражение записывается только с помощью цифр, знаков действий и скобок, и его значение можно вычислить.
Если в записи участвуют еще и буквы, это буквенное выражение.
Как правило, в буквенных выражениях знак умножения пишут только между числами. В остальных случаях его опускают.
Из одного буквенного выражения можно получить бесконечно много числовых выражений.
Буквенное выражение, по которому можно вычислить какие-либо общепринятые величины (периметр, площадь, путь, скорость и так далее) называют формулами.
s = vt — формула пути, где s — пройденный путь, v — скорость движения, t — время, за которое пройден путь s.
§ 10. Уравнение
Если в задаче искомое число обозначить буквой, к примеру x, а остальное записать числами, скобками и знаками действий, получим уравнение.
! Корнем уравнения называют число, которое при подстановке вместо буквы обращает уравнение в верное числовое равенство.
Корень уравнения называют решением уравнения. Уравнение не обязательно имеет один корень (одно решение).
! Решить уравнение — значит найти все его корни или убедиться, что их вообще нет.
Правила нахождения неизвестного слагаемого. Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.
Правила нахождения неизвестного уменьшаемого. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.
Правила нахождения неизвестного вычитаемого. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.
§ 11. Угол. Обозначение углов
! Фигуру, образованную двумя лучами, имеющими общее начало, называют углом.
Эти лучи называют сторонами угла, а их общее начало — вершиной угла. Угол обозначают тремя буквами, на втором месте обязательно пишут букву вершины угла. Можно обозначать угол одной буквой, соответствующей вершине, если она принадлежит только одному углу.
! Два угла называют равными, если они совпадают при наложении.
Пример: ∠MON = ∠NOP
Рисунок 6
Луч, который делит угол на 2 равных угла, называют биссектрисой угла.
§ 12. Виды углов. Измерение углов
! Угол, стороны которого образуют прямую, называют развернутым.
Измерить угол — значит подсчитать, сколько единичных углов (по 1 градусу) в нем помещается.
Величина, или градусная мера развернутого угла равна 180 градусов. Можно сказать и так: развернутый угол равен 180°.
Для измерения углов используют транспортир. Его шкала содержит 180 делений.
Равные углы имеют равные градусные меры. Из двух неравных углов бОльшим будем считать тот, градусная мера которого больше.
! Если между сторонами угла АВС провести луч ВD, то градусная мера угла АВС равна сумме градусных мер углов АВD и DВС.
∠АВС = ∠АВD + ∠DВС
Рисунок 7
! Угол, градусная мера которого меньше 90°, называют острым
! Угол, градусная мера которого больше 90°, называют прямым.
! Угол, градусная мера которого больше 90°, но меньше 180°, называют тупым.
Биссектриса развернутого угла делит его на 2 угла, градусная мера каждого из которых равна 90°, то есть на 2 прямых угла.
§ 13. Многоугольники. Равные фигуры
Замкнутую фигуру, состоящую из четырех непересекающихся звеньев ломаной, называют четырехугольником.
Замкнутую фигуру, состоящую из нескольких непересекающихся звеньев ломаной, называют многоугольником.
Каждый многоугольник имеет вершины и стороны. Вершины одновременно являются углами. Многоугольник называют и обозначают по его вершинам, последовательно записывая каждую, начиная с любой.
Сумму длин всех сторон много угольника называют его периметром.
! Два многоугольника называют равными, если они совпадают при наложении.
! Две фигуры называют равными, если они совпадают при наложении.
§ 14. Треугольник и его виды
Из всех многоугольников треугольники имеют наименьшее количество углов и сторон. Треугольники можно различать (классифицировать) по виду их углов.
! Если все углы треугольника острые, то его называют остроугольным треугольником.
! Если один из углов треугольника прямой, то его называют прямоугольным треугольником.
! Если один из углов треугольника тупой, то его называют тупоугольным треугольником.
Треугольники можно классифицировать и по количеству равных сторон.
! Если две стороны треугольника равны, то его называют равнобедренным треугольником.
Равные стороны равнобедренного треугольника называют боковыми сторонами, а оставшуюся сторону — основанием.
! Если три стороны треугольника равны, то его называют равносторонним треугольником.
Если сторона равностороннего треугольника равна а, то его периметр вычисляют по формуле Р = 3а
! Треугольник, у которого три стороны имеют различную длину, называют разносторонним треугольником.
§ 15. Прямоугольник. Ось симметрии фигуры
! Если в четырехугольнике все углы прямые, то его называют прямоугольником.
Стороны, которые имеют общую вершину, называют соседними. Соседние стороны прямоугольника называют его длиной и шириной.
Стороны прямоугольника, не имеющие общих вершин, называют противолежащие.
! Противолежащие стороны прямоугольника равны.
Если длина прямоугольника равна а, а ширина — b, то его периметр вычисляют по формуле Р = 2а + 2b
Прямоугольник, у которого все стороны равны, называют квадратом.
В прямоугольнике можно провести линию через середины противолежащих сторон. Эта линия делит фигуру на 2 равные части и называется ось симметрии, а фигура — симметричной относительно оси симметрии.
Ось симметрии имеет и равнобедренный треугольник.
У симметричной фигуры может быть более одной оси симметрии.
Рисунок 8
Глава 3
Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел
§ 16. Умножение. Переместительное свойство умножения
В равенстве a * b = c числа a и b называют множителями, а число c и запись a * b − произведением.
$$ a * b = underbrace{a + a + a + … + a}_{b-слагаемых} $$
Произведением числа a на натуральное число b, не равное 1, называют сумму, состоящую из b слагаемых, каждое из которых равно a.
А если b = 1? Тогда придется рассматривать сумму, состоящую из одного слагаемого. А это в математике не принято. Поэтому договорились, что: a * 1 = a. Если b = 0, то договрились считать, что: a * 0 = 0. В частности, 0 * 0 = 0.
Рассмотрим произведения 1 * a и 0 * a, где a − натуральное число, отличное от 1. Имеем:
$$ 1 * a = underbrace{1 + 1 + 1 + … + 1}_{a-слагаемых} = a, $$
$$ 0 * a = underbrace{0 + 0 + 0 + … + 0}_{a-слагаемых} = 0. $$
! Если один из двух множителей равен 1, то произведение равно другому множителю:
a * 1 = 1 * a = a
! Если один из двух множителей равен нулю, то произведение равно нулю:
a * 0 = 0 * a = 0
Произведение двух чисел, отличных от нуля, нулем быть не может. Если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю.
! Переместительное свойство умножения:
От перестановки множителей произведение не меняется.
ab = ba
§ 17. Сочетательное и распределительное свойства умножения
! Сочетательное свойство умножения.
Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел.
(ab)c = a(bc)
Из переместительного и сочетательно свойств умножения следует, что при умножении нескольких чисел множители можно менять местами и заключать в скобки, тем самым определяя порядок вычислений. Например, верны равенства: abc = cba, а * b * c * d = (b * d) * (a * c).
! Распределительное свойство умножения относительно сложения.
Чтобы число умножить на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.
a(b + c) = ab + ac
Из распределительного свойства умножения относительно сложения следует, что ab + ac = a(b + c).
Это равенство позволяет формулу P = 2a + 2b для нахождения периметра прямоугольника записать в таком виде:
P = 2(a + b).
Заметим, что распределительное свойство справедливо для трех и более слагаемых. Например:
a(m + n + p + q) = am + an + ap + aq.
Также справедливо распределительное свойство умножения относительно вычитания: если b > c или b = c, то
a(b − c) = ab − ac
Преобразование выражения со скобками в выражение без скобок с помощью свойств умножения, вычитания, сложения и деления, называют раскрытием скобок.
§ 18. Деление
Действие деления определяют с помощью действия умножения.
Для натуральных чисел a, b и c равенство a : b = c верно, если верно равенство b * c = a.
В равенстве a : b = c число a называют делимым, число b − делителем, число c и запись a : b − частным.
Частное a : b показывает, во сколько раз число a больше числа b или во сколько раз число b меньше числа a.
! На нуль делить нельзя.
Вместе с тем поскольку a * 0 = 0, то для любого натурального числа a верно равенство:
0 : a = 0
Также для любого натурального числа a верны равенства:
a : a = 1,
a : 1 = a.
Эти равенства легко проверить с помощью умножения.
Правило нахождения неизвестного множителя:
чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.
Правило нахождения неизвестного делимого:
чтобы найти неизвестное делимое, надо делитель умножить на частное.
Правило нахождения неизвестного делителя:
чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.
§ 19. Деление с остатком
Наибольшее число, произведение которого на делитель меньше делимого называют неполным частным, а оставшееся число − остатком.
! Остаток всегда меньше делителя.
Чтобы найти делимое, надо делитель умножить на неполное частное и прибавить остаток.
a = bq + r
где a − делимое, b − делитель, q − неполное частное, r − остаток, r < b.
Если остаток равен 0, можно сказать, что число делится нацело.
§ 20. Степень числа
Произведение, в котором все множители равны, можно записать степенью. Например, 7 * 7 * 7 * 7 = 74. Выражение 74 называют степенью и читают: «семь в четвертой степени» или «четвертая степень числа семь». При этом число 7 называют основанием степени, а число 4 − показателем степени. Число 4 показывает, сколько множителей, каждый из которых равен 7, содержит произведение.
Вторую степень числа называют квадратом числа. Например, запись a2 читают «a в квадрате». Третью степень числа называют кубом числа, и запись a3 читают «a в кубе».
Поскольку не принято рассматривать произведение, состоящее из одного множителя, то договорились, что a1 = a.
Возведение числа в степень − это пятое арифметическое действие. Определим очередность его выполнения при нахождении значения числового выражения.
Если в числовое выражение входит степень, то сначала выполняют возведение в степень, а потом − остальные действия.
§ 21. Площадь. Площадь прямоугольника
Если фигуры не совпадают при наложении, но состоят из одинакового количества фигур меньшего размера, то говорят, что их площади равны.
! Свойства площади фигуры.
1) Равные фигуры имеют равные площади.
2) Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, из которых она состоит.
Как можно измерить площадь фигуры?
Для измерения отрезков мы вводили единичный отрезок, а для измерения углов − единичный угол. Вообще, когда нужно измерить какую−либо величину, вводят единицу измерения. За единицу измерения площади выбираю квадрат, сторона которого равна единичному отрезку. Такой квадрат называют единичным.
Площадь квадрата со стороной 1 м называют квадратным метром. Пишут: 1 м2.
Площадь квадрата со стороной 1 см называют квадратным сантиметром. Пишут: 1 см2.
Площадь квадрата со стороной 1 мм называют квадратным миллиметром. Пишут: 1 мм2.
! Измерить площадь фигуры − значит подсчитать, сколько единичных квадратов в ней помещается.
Площадь прямоугольника равна произведению длин его соседних сторон:
S = ab
где S − площадь, a и b − длины соседних сторон прямоугольника, выраженные в одних и тех же единицах.
Поскольку у квадрата все стороны равны, то его площадь вычисляют по формуле:
S = a2
где a − длина стороны квадрата. Именно поэтому вторую степень числа называют квадратом числа.
Вы знаете, что равные фигуры имеют равные площади. Однако если площади фигур равны, то не обязательно будут равными сами фигуры.
Для измерения площади земельных участков используют различные единицы измерения. Например: ар, гектар.
1 а = 10 м * 10 м = 100 м2,
1 а = 10 м * 10 м = 10000 м2.
В быту 1 ар называют соткой.
§ 22. Прямоугольный параллелепипед. Пирамида
Форму прямоугольного параллелепипеда имеют, например, коробка конфет, кирпич, спичечный коробок.
Прямоугольный параллелепипед ограничен шестью гранями. Каждая грань − это прямоугольник, т.е. поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из шести прямоугольников.
Стороны граней называют ребрами прямоугольного параллелепипеда, вершины граней − вершинами прямоугольного параллелепипеда.
Рисунок 9
Например, отрезки AB, BC, A1B1 − ребра, а точки B, A1, C1 − вершины параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 .
У прямоугольного параллелепипеда 8 вершин и 12 ребер.
Грани AA1B1B и DD1C1C не имеют общих вершин. Такие грани называют противолежащими. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 есть еще две пары противолежащих граней: прямоугольники ABCD и A1B1C1D1, а также прямоугольники AA1D1D и BB1C1C.
Противолежащие грани прямоугольного параллелепипеда равны.
Грань ABCD называют основанием прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.
Площадью поверхности параллелепипеда называют сумму площадей всех его граней.
Чтобы иметь представление о размерах прямоугольного параллелепипеда, достаточно рассмотреть любые три ребра, имеющие общую вершину. Длины этих ребер называют измерениями прямоугольного параллелепипеда. Чтобы их различать, пользуются названиями: длина, ширина, высота.
Рисунок 10
Прямоугольный параллелепипед, у которого все измерения равны, называют кубом. Поверхность куба состоит из шести равных квадратов.
Если коробку, имеющую форму прямоугольного параллелепипеда, открыть и разрезать по четырем вертикальным ребрам, а затем развернуть, то получим фигуру, состоящую из шести прямоугольников. Эту фигуру называют разверткой прямоугольного параллелепипеда.
Рисунок 11. Развертка прямоугольного параллелепипеда.
Фигура, состоящая из шести равных квадратов — развертка куба.
С помощью развертки можно изготовить модель прямоугольного параллелепипеда.
Прямоугольный параллелепипед является видом многогранника − фигуры, поверхность которой состоит из многоугольников. Одним из видов многогранника является пирамида.
Рисунок 11. Многогранники
Поверхность пирамиды состоит из боковых граней − треугольников, имеющих общую вершину, и основания. Общую вершину боковых граней называют ребрами основания пирамиды, а стороны боковых граней, не принадлежащие основанию, − боковыми ребрами пирамиды.
Рисунок 13. Пирамиды. Развертки пирамид
Пирамиды можно классифицировать по количеству сторон основания: треугольная, четырехугольная, пятиугольная и т.д.
Поверхность треугольной пирамиды состоит из четырех треугольников. Любой из этих треугольников может служить основанием пирамиды. Это вид пирамиды, любая грань которой может служить ее основанием.
Фигура, которая может служить разверткой четырехугольной пирамиды, состоит из квадрата и четырех равных равнобедренных треугольников.
Фигура, состоящая из четырех равных равносторонних треугольников — развертка треугольной пирамиды, у которой все грани − равносторонние треугольники.
Многогранники являются примерами геометрических тел.
§ 23. Объём прямоугольного параллелепипеда
Если фигуры состоят из равного количества одинаковых кубиков, о таких фигурах можно сказать, что их объемы равны. Одинаковые емкости имеют равные объемы. Например, одинаковые бочки имеют равные объемы.
Если емкость разделить на несколько частей, то объем всей емкости равен сумме объемов ее частей.
! Свойства объема фигуры.
1) Равные фигуры имеют равные объемы.
2) Объем фигуры равен сумме объемов фигур, из которых она состоит.
Как и в случаях с другими величинами (длина, площадь), следует ввести единицу измерения объема. За единицу измерения объема выбирают куб, ребро которого равно единичному отрезку. Такой куб называют единичным.
Объем куба с ребром 1 мм называю кубическим миллиметром. Пишут 1 мм3.
Объем куба с ребром 1 см называю кубическим сантиметром. Пишут 1 см3.
Объем куба с ребром 1 мм называю кубическим дециметром. Пишут 1 дм3.
При измерении объемов жидкостей и газов 1 дм3 называют литром. Пишут: 1 л. Итак, 1 л = 1 дм3.
Измерить объем фигуры − значит подсчитать, сколько единичных кубов в ней помещается.
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.
V = abc
где V − объем, a, b, и c − измерения прямоугольного параллелепипеда, выраженные в одних и тех же единицах.
Поскольку у куба все ребра равны, то его объем вычисляют по формуле:
V = a3
где a − длина ребра куба. Именно поэтому третью степень числа называют кубом числа.
Произведение длины a и ширины b прямоугольного параллелепипеда равно площади S его основания: S = ab (рис. 177). Обозначим высоту прямоугольного параллелепипеда буквой h. Тогда объем V прямоугольного параллелепипеда равен V = abh.
Отсюда
V = abh = (ab)h = Sh.
Итак, мы получили еще одну формулу для вычисления объема прямоугольного параллелепипеда:
V = Sh
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.
Пример. Какой должна быть высота бака, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, чтобы его объем составлял 324 дм3, а площадь дна − 54 дм2?
Решение. Из формулы V = Sh следует, что h = V : S. Тогда искомую высоту h бака можно вычислить так:
h = 324 : 54 = 6 (дм).
Ответ: 6 дм.
§ 24. Комбинаторные задачи
Задачи, решение которых требует рассмотрения и подсчета всех возможных комбинаций, называют комбинаторными.
При решении комбинаторных задач важно рассмотреть (перебрать) все случаи. Схема с возможными вариантами напоминает перевернутое дерево, поэтому ее называют деревом возможных вариантов.
Раздел 2 Глава 4
Раздел II. Дробные числа и действия над ними
Глава 4. Обыкновенные дроби
§ 25. Понятие обыкновенной дроби
Дробные числа возникают, когда один предмет (яблоко, арбуз, торт, буханку хлеба, лист бумаги) или единицу измерения (метр, час, килограмм, градус) делят на несколько равных частей. Половина, четверть, треть, одна сотая, полтора − это примеры дробных чисел.
Записи вида
$frac{1}{2}$; $frac{1}{4}$; $frac{1}{3}$; $frac{3}{10}$; $frac{17}{24}$ и т.п. называют обыкновенными дробями или короче − дробями.
Обыкновенные дроби записывают с помощью двух натуральных чисел и черты дроби.
Число, записанное над чертой, называют числителем дроби; число, записанное под чертой, называют знаменатель дроби.
Знаменатель дроби показывает, на сколько равных частей разделили нечто целое, а числитель − сколько таких частей взяли.
§ 26. Правильные и неправильные дроби. Сравнение дробей
Если числитель дроби равен знаменателю, то дробь равна единице.
$frac{m}{m}$ = 1 , где m − натурально число.
Дробь, у которой числитель меньше знаменателя, называют правильной.
Дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему, называют неправильной.
$frac{1}{2}$, $frac{7}{12}$, $frac{17}{584}$ − правильные дроби.
$frac{7}{5}$, $frac{3}{3}$, $frac{31}{15}$ − неправильные дроби.
! Свойства дробей.
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше, а меньше та, у которой числитель меньше.
Все правильные дроби меньше единицы, а неправильные − больше или равны единице.
Это свойство позволяет сделать следующий вывод. Каждая неправильная дробь больше любой правильной дроби, а каждая правильная дробь меньше любой неправильной дроби.
На координатном луче из двух дробей большая дробь расположена правее меньшей.
Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.
§ 27. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.
$frac{a}{c}$ + $frac{b}{c}$ = $frac{a + b}{c}$
Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить прежним.
$frac{a}{c}$ − $frac{b}{c}$ = $frac{a — b}{c}$
§ 28. Дроби и деление натуральных чисел
Черту дроби можно рассматривать как знак деления, а запись
$frac{a}{b}$ читать «a разделить на b».
Результат деления двух натуральных чисел может быть натуральным или дробным числом.
Любое натуральное число можно записать в виде дроби с любым знаменателем.
§ 29. Смешанные числа
Число $2frac{5}{7}$ называют смешанным числом. В смешанном числе $2frac{5}{7}$ натуральное число 2 называют целой частью смешанного числа, а дробь $frac{5}{7}$ − его дробной частью.
Дробная часть смешанного числа − это правильная дробь.
Вот еще примеры смешанных чисел:
$4frac{1}{5}$, $1frac{3}{10}$, $9frac{5}{8}$.
Отметим, что, например, числа:
$5frac{7}{3}$, $1frac{11}{10}$, $3frac{7}{7}$ смешанными не являются, поскольку дроби $frac{7}{3}$, $frac{11}{10}$, $frac{7}{7}$ не являются правильными.
Научимся записывать неправильную дробь в виде смешанного числа, т.е. выделять (находить) его целую и дробные части.
Рассмотрим, например число
$frac{22}{5}$. Имеем: $frac{22}{5}$ = $frac{20 + 2}{5}$ = $frac{20}{5}$ + $frac{2}{5}$ = $4$ + $frac{2}{5}$ = $4frac{2}{5}$. А как узнать, что число 22 следует представить именно так: 22 = 20 + 2?
Если выполнить деление с остатком числа 22 на число 5, то получим 22 = 4 * 5 + 2, где число 4 − неполное частное, число 2 − остаток, т.е. 22 = 20 + 2.
Заметим, что число 4 и есть целая часть смешанного числа, а число 2 − числитель его дробной части.
Чтобы неправильную дробь, числитель которой нацело не делится на знаменатель, преобразовать в смешанное число, надо числитель разделить на знаменатель; полученное неполное частное записать как целую часть смешанного числа, а остаток − как числитель его дробной части.
Любую неправильную дробь, у которой числитель нацело делится на знаменатель, можно представить в виде смешанного числа.
Если числитель неправильной дроби делится нацело на знаменатель, то эта дробь равна натуральному числу. Например:
$frac{28}{7}$ = $4$, $frac{63}{9}$ = $7$, $frac{17}{17}$ = $1$.
Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь, надо целую часть числа умножить на знаменатель дробной части и к полученному произведению прибавить числитель дробной части; эту сумму записать как числитель неправильной дроби, а в ее знаменатель записать знаменатель дробной части смешанного числа.
Например:
$5frac{4}{9}$ = $frac{5 * 9 + 4}{9}$ = $frac{49}{9}$.
Отметим, что свойства сложения натуральных чисел выполняются и для дробных чисел:
a + b = b + a − переместительное свойство сложения,
(a + b) + c = a + (b + c) − сочетательное свойство сложения.
Воспользовавшись этими свойствами, найдем сумму
$4frac{2}{7}$ + $2frac{3}{7}$.
Имеем:
$4frac{2}{7}$ + $2frac{3}{7}$ = ($4$ + $frac{2}{7}$) + ($2$ + $frac{3}{7}$) = (4 + 2) + ($frac{2}{7}$ + $frac{3}{7}$) = 6 + $frac{5}{7}$ = $6frac{5}{7}$.
Чтобы сложить два смешанных числа, надо отдельно сложить их целые и дробные части.
Пример. Выполните сложение
$3frac{4}{9}$ + $5frac{7}{9}$.
Решение. Имеем:
$3frac{4}{9}$ + $5frac{7}{9}$ = $8frac{11}{9}$ = 8 + $frac{11}{9}$ = 8 + $1frac{2}{9}$ = $9frac{2}{9}$.
Научимся вычитать смешанные числа, дробные части которых имеют равные знаменатели. Если дробная часть уменьшаемого больше или равна дробной части вычитаемого, то можно воспользоваться следующим правилом.
Чтобы найти разность двух смешанных чисел, надо из целой и дробной частей уменьшаемого вычесть соответственно целую и дробную части вычитаемого.
Например:
$8frac{19}{20}$ − $6frac{12}{20}$ = (8 − 6) + ($frac{19}{20}$ − $frac{12}{20}$) = 2 + $frac{7}{20}$ = $2frac{7}{20}$.
Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, приведенным правилом воспользоваться нельзя. «Подготовим» уменьшаемое к вычитанию так: возьмем из вычитаемого целую единицу, представленную в виде дроби с одинаковым числителем и знаменателем, и добавим ее в дробную часть.
Пример: $5frac{4}{13}$ = 5 + $frac{4}{13}$ = (4 + 1) + $frac{4}{13}$ = 4 + ($frac{13}{13}$ + $frac{4}{13}$) = $4frac{17}{13}$.
Глава 5
Глава 5. Десятичные дроби
§ 30. Представление о десятичных дробях
Для дробей, у которых знаменатели равны 10, 100, 1000 и т.д., придумали более удобную, «одноэтажную» форму записи:
Например, $frac{7}{10}$ = 0,7 (запись 0,7 читают: «ноль целых семь десятых»); $frac{12}{100}$ = 0,12 (запись 0,12 читают: «ноль целых двенадцать сотых»); $2frac{973}{1000}$ = 2,973 (запись 2,973 читают: «две целых девятьсот семьдесят три тысячных»); $frac{43}{10}$ = 4$frac{3}{10}$ = 2,973 (запись 4,3 читают: «четыре целых три десятых»); $frac{3}{100}$ = 0,03 (запись 0,03 читают: «ноль целых три сотых»); $2frac{508}{10000}$ = 2,0508 (запись 2,0508 читают: «две целых пятьсот восемь десятитысячных»).
Такую форму записи дробей называют десятичной. Дроби, записанные в такой форме, называю десятичными дробями. Числа 0,7; 0,12; 2,973; 4,3; 0,03; 2,0508 − примеры десятичных дробей.
Обратите внимание, что в записи десятичной дроби запятая отделяют целую часть числа от дробной. Считают, что целая часть правильной дроби равна 0.
Запись дробной части десятичной дроби содержит столько цифр, сколько нулей в записи знаменателя соответствующей обыкновенной дроби.
Поэтому, например,
$6frac{3}{1000}$ = 6,003; $frac{17}{1000}$ = 0,017; $3frac{527}{1000}$ = 3,527.
В некоторых случаях бывает необходимо рассматривать натуральное число как десятичную дробь, у которой дробная часть равна нулю. Договорились, например, что 3 = 3,0; 171 = 171,0 и т. д.
Напомним, что в десятичной записи натурального числа единицы младшего разряда в 10 раз меньше единицы соседнего старшего разряда. Таким же свойством обладает и запись десятичных дробей. Поэтому сразу после запятой идет разряд десятых, далее разряд сотых, затем разряд тысячных и т. д.
При чтении десятичной дроби сначала называют ее целую часть, добавляя слово «целых», а затем называют дробную часть, добавляя название последнего разряда. Например, десятичную дробь 23,70549 читают: «двадцать три целых семьдесят тысяч пятьсот сорок девять стотысячных».
§ 31. Сравнение десятичных дробей
Из двух десятичных дробей броьше та, у которой целая часть больше.
А как сравнивать дроби с равными целыми частями? В этом случае вначале сравнивают десятые. Например, 11,23 > 11,19, так как 2 > 1. Если же десятые оказались равными, то сравнивают сотые. Например, 2,84 < 2,86, так как 4 < 6. В случае равенства сотых сравнивают тысячные и т. д.
Такой способ сравнения десятичных дробей называют поразрядным.
Напомним, что натуральные числа мы тоже сравнивали поразрядно.
Заметим, что в приведенных примерах мы сравнили десятичные дроби с равными целыми частями и с одинаковым количеством цифр после запятой.
А как сравнивать десятичные дроби с равными целыми частями, но с различным количеством цифр после запятой? Например, какая из дробей больше: 5,4 или 5,40?
Сравним отрезки длиной 5,4 м и 5,40 м. Имеем:
$5,4 м = 5frac{4}{10}$ м = 5 м 4 дм = 540 см;
$5,40 м = 5frac{40}{100}$ м = 5 м 40 см = 540 см.
Получается, что 5,4 = 5,40. Рассуждая аналогично, можно показать, что, например, 0,3 = 0,30 = 0,300.
! Эти примеры иллюстрируют следующие свойства.
Если к десятичной дроби справа приписать любое количество нулей, то получится дробь, равная данной.
Значение дроби, оканчивающиеся нулями, не изменится, если последние нули в ее записи отбросить.
Сравним дроби 3,2 и 3,198.
Поскольку 3,2 = 3,200, а 3,200 > 3,198, то 3,2 > 3,198.
Этот пример иллюстрирует следующее правило.
Чтобы сравнить две десятичные дроби с равными целыми частями и различным количеством цифр после запятой, надо с помощью приписывания нулей справа уравнять количество цифр в дробных частях, после чего сравнить полученные дроби поразрядно.
Пример. Напишите несколько чисел, каждое из которых больше 2,35, но меньше 2,36.
Решение. Имеем: 2,35 = 2,350; 2,36 = 2,360. Следовательно, числами, удовлетворяющими условию, будут , например: 2,351; 2,352; 2,353.
Учитывая, что 2,35 = 2,3500 и 2,36 = 2,3600, можем указать и другие числа, удовлетворяющие условию задачи. Например: 2,3501; 2,3576; 2,3598 и т.д.
§ 32. Округление чисел. Прикидки
Пусть ширина земельного участка прямоугольной формы равна 17 м, а длина − 36 м. Тогда его площадь равна 612 м2, или 6,12 сотки. Однако в повседневной жизни говорят, что площадь этого участка приблизительно равна 6 соткам.
В таких случаях число 6 называют приближенным значением числа 6,12 и говорят, что число 6,12 округлили до числа 6. Записывают 6,12 = 6 (читают: «6,12 приближенно равно 6»).
Земельный участок длиной 29 м и шириной 24 м имеет площадь, равную 696 м2, или 6,96 сотки. На практике число 6,96 округлят и скажут, что площадь участка приближенно равна 7 соткам, то есть 6,96 ≈ 7.
Почему же число 7, а не 6 считают приближенным значением числа 6,96? Так договорились потому, что число 7 − ближайшее к 6,96 натуральное число (рис. 205). Следовательно, при замене числа 6,96 числом 7 совершается меньшая ошибка, чем при замене числа 6,96 числом 6.
Мы привели примеры округления десятичных дробей до единиц.
А как округлить до единиц число 6,5, которое одинаково удалено от чисел 6 и 7? В таком случае договорились округлять до большего из двух чисел. Таким образом, считают, что 6,5 ≈ 7.
Десятичные дроби можно округлять не только до единиц, но и до десятых, сотых, тысячных и т. д.
Например:
0,12 ≈ 1 (округление до десятых), так как 0,12 ближе к 0,1, чем к 0,2;
3,85741 ≈ 3,86 (округление до сотых), так как 3,85741 ближе к 3,86, чем к 3,85;
1,004483 ≈ 1,004 (округление до тысячных), так как 1,004483 ближе к 1,004, чем к 1,005.
Эти примеры иллюстрируют следующее правило.
Для того чтобы десятичную дробь округлить до единиц, десятых, сотых и т. д., надо все следующие за этим разрядом цифры отбросить. Если при этом первая из отбрасываемых цифр равна 0, 1, 2, 3 или 4, то последняя из оставшихся цифр не изменяется; если же первая из отбрасываемых цифр равна 5, 6, 7, 8 или 9, то последняя из оставшихся цифр увеличивается на единицу.
Пример. Округлите число 16,398 до сотых.
Решение. Имеем: 16,398 ≈ 16,40, причем 0 в конце дробной части не отбрасывается, так как он показывает, до какого разряда округлено число.
Округляют не только десятичные дроби, но и натуральные числа. Невозможно установить точно, сколько людей живет в России, сколько кубических метров воды в озере Байкал, сколько тонн зерна собрали в прошлом году в нашей стране. Эту информацию можно найти в справочниках. Однако приведенные в них данные являются приближенными.
Округление натуральных чисел во многом похоже на округление десятичных дробей.
При округлении натуральных чисел до какого−либо разряда вместо всех следующих за ним цифр младших разрядов пишут нули. При этом если первая из цифр, следовавших за этим разрядом, была равной 5, 6, 7, 8 или 9,, то цифра в данном разряде увеличивается на единицу.
Например:
234 ≈ 230 − округление до десятков;
8 763 ≈ 230 − округление до сотен;
984 ≈ 1 000 − округление до тысяч;
965 348 ≈ 970 000 − округление до десятков тысяч.
В тех случаях. когда мы хотим быстро оценить ситуацию, принять правильное решение могут оказаться полезными знания об округлении чисел.
Рассмотрим такой пример.
До пункта прибытия автомобилю осталось проехать 283 км. Водитель знает, что расход бензина составляет 9 л на 100 км пути и объем топливного бака равен 60 л.
Лишь взглянув на прибор, который показывает уровень топлива в баке 283 л, водитель убедился, что бензина хватит. Как ему удалось так быстро провести расчеты?
Водитель поступили так: округлил расход бензина до 10 л на 100 км пути, оставшееся расстояние − до 300 км, а затем выполнил действия (300 : 100) * 10. Полученный результат 30 л сравнил с показателем, уровня топлива в баке.
Точный результат можно было получить, найдя значение выражения (283 : 100) * 9. Однако водитель так делать не стал. Он прикинул значение этого числового выражения.
Обратите внимание, что водитель округлял все числа в «худшую» сторону − взял больший расход топлива, чем на самом деле, и большее расстояние, чем нужно проехать. Если топлива хватит при «ухудшенных» условиях, значит, его хватит и на самом деле. А вот округлять в сторону «улучшения» опасно. Такая прикидка может подвести водителя.
Подобные прикидки вы можете делать, например, определяя, хватит ли денег на покупку, состоящую из целого ряда товаров. Планируя свой день, вы прикидываете время на выполнение определенного вида работ.
Прикидку выгодно применять тогда, когда жизненная ситуация позволяет заменить трудоемкие вычисления простыми расчетами.
§ 33. Сложение и вычитание десятичных дробей
Вы уже умеете складывать обыкновенные дроби с равными знаменателями. Научимся складывать десятичные дроби. Найдем сумму 2,374 + 1,725. Обратив эти дроби в обыкновенные, получаем:
$2,374 + 1,725 = 2frac{374}{1000} + 1frac{725}{1000} = 3 + frac{374 + 725}{1000} = 3 + frac{1099}{1000} = 3 + 1frac{99}{1000} = 4frac{99}{1000} = 4,099$
Однако складывать десятичные дроби можно гораздо проще, не обращая их в обыкновенные.
Сходство способов записи десятичных дробей и натуральных чисел позволяет выполнять сложение десятичных дробей в столбик.
Чтобы сложить две десятичные дроби, надо:
1) уравнять в слагаемые количество цифр после запятой;
2) записать слагаемые друг под другом так, чтобы каждый разряд второго слагаемого оказался под соответствующим разрядом первого слагаемого;
3) сложить полученные числа так, как складывают натуральные числа;
4) поставить в полученной сумме запятую под запятыми в слагаемых.
Рисунок 14
В столбик можно также вычитать десятичные дроби.
Чтобы из одной десятичной дроби вычесть другую, надо:
1) уравнять в уменьшаемом и вычитаемом количество цифр после запятой;
2) записать вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы каждый разряд вычитаемого оказался под соответствующим разрядом уменьшаемого;
3) произвести вычитание так, как вычитают натуральные числа;
4) поставить в полученной разности запятую под запятыми в уменьшаемом и вычитаемом.
Из приведенных примеров видно, что сложение и вычитание десятичных дробей выполнялось поразрядно, т.е. так, как мы производили соответствующие действия с натуральными числами. Это и есть главное преимущество десятичной формы записи дробей.
Свойства сложения натуральных чисел выполняются и для дробных чисел. Напомним эти свойства.
a + b = b + a − переместительное свойство сложения,
(a + b) + c = a + (b + c) − сочетательное свойство сложения.
Пример 1. Вычислите разность 4 км 36 м − 768 м, записав данные величины в километрах.
Решение. Имеем:
$4 км 36 м — 768 м = 4frac{36}{1000} км — frac{768}{1000} км = 4,036 км — 0,768 км = 3,268 км.$
Ответ: 3,268 км.
Пример 2. Собственная скорость катера равна 30 км/ч, а скорость течения реки − 1,4 км/ч. Найдите скорость катера по течению и его скорость против течения реки.
Решение.
1) 30 + 1,4 = 31,4 (км/ч) − скорость катера по течению.
2) 30 − 1,4 = 28,6 (км/ч) − скорость катера против течения.
Ответ: 31,4 км/ч, 28,6 км/ч.
§ 34. Умножение десятичных дробей
Вы уже знаете, что a * 10 = a + a + a + a + a + a + a + a + a + a. Например, 0,2 * 10 = 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2. Несложно догадаться, что эта сумма равна 2, т.е. 0,2 * 10 = 2.
Аналогично можно убедиться, что:
5,2 * 10 = 52;
0,27 * 10 = 2,7;
1,253 * 10 = 12,53;
64,95 * 10 = 649,5.
Вы, наверное, догадались, что при умножении десятичной дроби на 10 надо в этой дроби перенести запятую вправо на одну цифру.
А как умножить десятичную дробь на 100?
Имеем: a * 100 = a * 10 * 10. Тогда:
2,375 * 100 = 2,375 * 10 * 10 = 23,75 * 10 = 237,5.
Рассуждая аналогично, получаем, что:
3,2 * 100 = 320;
28,431 * 100 = 2843,1;
0,57964 * 100 = 57,964.
Умножим дробь 7,1212 на число 1 000.
Имеем: 7,1212 * 1 000 = 7,1212 * 100 * 10 = 712,12 * 10 = 7121,2.
Эти примеры иллюстрируют следующее правило.
Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1 000 и т.д., надо в этой дроби перенести запятую вправо соответственно на 1, 2, 3 и т.д. цифры.
Итак, если запятую перенести вправо на 1, 2, 3 и т.д. цифры, то дробь увеличится соответственно в 10, 100, 1 000 и т.д. раз.
Следовательно, если запятую перенести влево на 1, 2, 3 и т.д. цифры, то дробь уменьшится соответственно в 10, 100, 1 000 и т.д. раз.
Покажем, что десятичная форма записи дробей дает возможность умножать их, руководствуясь правилом умножения натуральных чисел.
Найдем, например, произведение 3,4 * 1,23. Увеличим первый множитель в 10 раз, а второй − в 100 раз. Это означает, что мы увеличили произведение в 1 000 раз.
Следовательно, произведение натуральных чисел 34 и 123 в 1 000 раз больше искомого произведения.
Имеем: 34 * 123 = 4182. Тогда для получения ответа надо число 4 182 уменьшить в 1 000 раз. Запишем: 4 182 = 4 182,0. Перенося запятую в числе 4 182,0 на три цифры влево, получим число 4,182, которое в 1 000 раз меньше числа 4 182. Поэтому 3,4 * 1,23 = 4,182.
Этот же результат можно получить, руководствуясь следующим правилом.
Чтобы перемножить две десятичные дроби, надо:
1) умножить их как натуральные числа, не обращая внимания на запятые;
2) в полученном произведении отделить запятой справа столько цифр, сколько их стоит после запятых в обоих множителях вместе.
В тех случаях, когда произведение содержит меньше цифр, чем требуется отделить запятой, слева перед этим произведение дописывают необходимое количество нулей, а затем переносят запятую влево на нужное количество цифр.
Например, 2 * 3 = 6, тогда 0,2 * 3 = 0,006; 25 * 33 = 825, тогда 0,025 * 0,33 = 0,00825.
В тех случаях, когда один из множителей равен 0,1; 0,01; 0,001 и т.д., удобно пользоваться следующим правилом.
Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д., надо в этой дроби перенести запятую влево соответственно на 1, 2, 3 и т.д. цифры.
Например, 1,58 * 0,1 = 0,158; 324,7 * 0,01 = 3,247.
Свойства умножения натуральных чисел выполняются и для дробных чисел:
ab = ba − переместительное свойство умножения,
(ab)с = a(bс) − сочетательное свойство умножения,
a(b + с) = ab + ac − распределительное свойство умножения относительно сложения.
§ 35. Деление десятичных дробей
Вы знаете, что разделить натуральное число a на натуральное число b − значит найти такое натуральное число c, которое при умножении на b дает число a. Это утверждение остается верным, если хотя бы одно из чисел a, b, c является десятичной дробью.
Рассмотрим несколько примеров, в которых делителем является натуральное число.
1,2 : 4 = 0,3, так как 0,3 * 4 = 1,2;
2,5 : 5 = 0,5, так как 0,5 * 5 = 2,5;
1 : 2 = 0,5, так как 0,5 * 2 = 1.
А как быть в тех случаях, когда деление не удается выполнить устно?
Например, как разделить 43,52 на 17?
Увеличив делимое 43,52 в 100 раз, получим число 4 352. Тогда значение выражения 4 352 : 17 в 100 раз больше значения выражения 43,52 : 17. Выполнив деление уголком, вы легко установите, что 4 352 : 17 = 256. Здесь делимое увеличено в 100 раз. Значит, 43,52 : 17 = 2,56. Заметим, что 2,56 * 17 = 43,52, что подтверждает правильность выполнения деления.
Частное 2,56 можно получит иначе. Будем делить 4352 на 17 уголком, не обращая внимания на запятую. При этом запятую в частном следует поставить непосредственно перед тем, как будет использована первая цифра после запятой в делимом:
Если делимое меньше делителя, то целая часть частного равна нулю. Например:
Рассмотрим еще один пример. Найдем частное 3,1 : 5. Вы знаете, что десятичная дробь не изменится, если к ней справа приписать любое количество нулей. Тогда становится понятным, что цифры делимого закончиться не могут. Имеем:
В предыдущем параграфе мы выяснили, что если запятую перенести вправо на 1, 2, 3 и т.д. цифры, то дробь увеличится соответственно в 10, 100, 1 000 и т. д. раз, а если запятую перенести влево на 1, 2, 3 и т. д. цифры, то дробь уменьшится соответственно в 10, 100, 1 000 и т. д. раз.
Поэтому в тех случаях, когда делитель равен 10, 100, 1 000 и т. д., пользуются следующим правилом.
Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1 000 и т. д., надо в этой дроби перенести запятую влево на 1, 2, 3 и т. д. цифры.
Например: 4,23 : 10 = 0,423; 2 : 100 = 0,02; 58,63 : 1 000 = 0,05863.
Итак, мы научились делить десятичную дробь на натуральное число.
Покажем, как деление на десятичную дробь можно свести к делению на натуральное число.
Имеем:
$frac{2}{5} км = 400 м$,
$frac{20}{50} км = 400 м$,
$frac{200}{500} км = 400 м$.
Получаем, что
$frac{2}{5} = frac{20}{50} = frac{200}{500}$, т.е. 2 : 5 = 20 : 50 = 200 : 500.
Этот пример иллюстрирует следующее: если делимое и делитель увеличить одновременно в 10, 100, 1 000 и т.д. раз, то частное не изменится.
Найдем частное 43,52 : 1,7.
Увеличим одновременно делимое и делитель в 10 раз. Имеем:
43,52 : 1,7 = 435,2 : 17.
Увеличим одновременно делимое и делитель в 10 раз. Имеем: 43,52 : 1,7 = 25,6.
Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную надо:
1) перенести в делимом и в делителе запятые вправо на столько цифр, сколько их содержится после запятой в делителе;
2) выполнить деление на натуральное число.
§ 36. Среднее арифметическое. Среднее значение величины
Средним арифметическим нескольких чисел называют частное от деления суммы этих чисел на количество слагаемых.
Говоря о значениях каких − то величин, часто имеют в виду их средние значения. Например, когда говорят, что с 1 га поля собрали 38 ц пшеницы, то это не означает, что с каждого гектара поля было собрано именно такое количество центнеров пшеницы. Эту величину получили, разделив массу всего урожая, выраженную в центнерах, на площадь всего поля, выраженную в гектарах. Величина 38 ц является средней урожайностью с 1 га данного поля.
Еще один пример. Если автомобиль проехал 120 км за 1,5 ч, то, разделив длину пути на время, получим среднюю скорость движения автомобиля. Она равна 80 км/ч. При этом автомобиль мог останавливаться, ехать со скоростью большей либо меньшей, чем 80 км/ч.
Средний возраст футболиста команды, средняя за один матч результативность футболиста, среднее количество молока, потребляемое одним жителем России в год, и т.п. также являются примерами средних величин.
Чтобы найти среднее арифметическое, сложите все величины и разделите результат на их количество.
§ 37. Проценты. Нахождение процентов от числа
На практике люди часто пользуются сотыми частями величин. Например, сотая часть гектара − 1 ар (1 сотка), сотая часть века − 1 год, сотая часть рубля − 1 копейка, сотая часть метра − 1 сантиметр.
Для сотой части величины или числа придумали специальное название − один процент (от лат. pro centum − «на сто») и обозначение − 1 %.
Чтобы найти 1 % величины, надо ее значение разделить на 100.
Например, 1 % от 300 кг равен 3 кг. Действительно, 300 кг : 100 = 3 кг.
Если 1 % составляет
$frac{1}{100}$ величины, то, например, 3 % составляет $frac{3}{100}$ величины.
Так, 3 % от 1 км составляют
$frac{3}{100}$ километра, т.е. 30 м.
Заметим, что 100 % величины составляет
$frac{100}{100}$ величины, т. е. 100 % величины − это вся величина.
Например, если говорят, что работа выполнена на 100 %, то выполнена вся работа; если турист прошел 100 % маршрута, то он прошел весь маршрут.
Если мы хотим показать, как изменилась величина, то это можно сделать с помощью процентов.
Например, если спортивную секцию посещали 12 учащихся, а стали посещать 24, то говорят, что количество членов секции увеличилось на 100 %. Если во время новогодней распродажи мобильный телефон стал стоить в два раза дешевле, то говорят, что его цена снизилась на 50 %.
Вообще, если величина стала в два раза больше, то она увеличилась на 100 %, а если величина стала в два раза меньше, то она уменьшилась на 50 %.
Любое количество процентов можно записать в виде десятичной дроби или натурального числа. Для этого нужно число, стоящее перед знаком %, разделить на 100.
Например, 23 % = 0,23; 80 % = 0,80 = 0,8; 300 % = 3.
Также можно выполнить обратное преобразование, т. е. записать десятичную дробь или натуральное число в процентах. Для этого нужно число умножить на 100 и к результату приписать знак %.
Например, 1,4 = 140 %; 0,02 = 2 %; 7 = 700 %.
Часто для того, чтобы иметь более точное представление о величине, удобно выразить ее в процентах. Предположим, что ты в этом полугодии получил девять пятерок по математике − это много или мало? Ответить на этот вопрос нельзя, ведь неизвестно, сколько всего оценок по математике ты получил в этом полугодии и какую часть из них составляют пятерки. А вот если сказать, что в этом полугодии из твоих оценок по математике 90 % − пятерки, то сразу становится понятным: ты очень хорошо знаешь этот предмет.
Пример 1. Клубника содержит 6 % сахара. Сколько килограммов сахара содержится в 15 кг клубники?
Решение.
1) 15 : 100 = 0,15 (кг) − составляет 1% массы всей клубники.
2) 0,15 * 6 = 0,9 (кг) − сахара содержится в 15 кг клубники.
Ответ: 0,9 кг.
Решив эту задачу, мы выяснили, сколько составляют 6 % от числа 15. Такую задачу называют задачей на нахождение процентов от числа.
§ 38. Нахождение числа по его процентам
Пример 1. В сливочном мороженом содержится 14 % сахара. Сколько килограммов мороженого изготовили, если при этом использовали 49 кг сахара?
Решение.
1) 49 : 14 = 3,5 (кг) − составляет 1 % всей массы мороженого.
2) 3,5 * 100 = 350 (кг) − изготовили мороженого.
Ответ: 350 кг.
В этой задаче мы нашли число 350, зная, что число 49 составляет от искомого числа 14 %. Такую задачу называют задачей на нахождение числа по его процентам.
Пример 2. За день рабочий сделал 48 деталей, что составляет 120 % количества деталей, которые он должен сделать по плану. Сколько деталей рабочий должен сделать по плану?
Решение.
1) 48 : 120 = 0,4 (детали) − составляют 1 % плана.
2) 0,4 * 100 = 40 (деталей) − рабочий должен сделать за день по плану.
Ответ: 40 деталей.
Пример 3. В роще растут дубы, клены и березы. Дубы составляют 15 % всех деревьев, улены − 23 %, а берез 248. Сколько всего деревьев растет в роще?
Решение.
1) 15 + 23 = 38 (%) − всех деревьев составляют дубы и клены.
2) 100 − 38 = 62 (%) − всех деревьев составляют березы.
3) 248 : 62 = 4 (дерева) − составляют 1 % всех деревьев.
4) 4 * 100 = 400 (деревьев) − растет в роще.
Ответ: 400 деревьев.
Источник: