Среднее арифметическое нескольких чисел — довольно сложная тема, с которой ученики впервые знакомятся в пятом классе, и не все и не всегда понимают ее с первого раза. Для взрослого понимания тема проста, но детям, порой, она дается нелегко. Так что же такое среднее арифметическое? Как его найти? Как решать типовые задачи на среднее арифметическое? Все эти вопросы разберем и на каждый дадим ответы в этой статье.
В учебниках дано такое понятие среднего арифметического:
Средним арифметическим нескольких чисел называют частное от деления суммы этих чисел на количество слагаемых.
Говоря о значениях каких − то величин, часто имеют в виду их средние значения. Например, когда говорят, что с 1 га поля собрали 38 ц пшеницы, то это не означает, что с каждого гектара поля было собрано именно такое количество центнеров пшеницы. Эту величину получили, разделив массу всего урожая, выраженную в центнерах, на площадь всего поля, выраженную в гектарах. Величина 38 ц является средней урожайностью с 1 га данного поля.
Еще один пример. Если автомобиль проехал 120 км за 1,5 ч, то, разделив длину пути на время, получим среднюю скорость движения автомобиля. Она равна 80 км/ч. При этом автомобиль мог останавливаться, ехать со скоростью большей либо меньшей, чем 80 км/ч.
Объясним более просто. К примеру, у нас есть три числа: 2, 4 и 6. Нужно найти их среднее арифметическое.
2 + 4 + 6 = 12, 12 : 3 числа = 4. 4 — среднее арифметическое. Если число 4 взять 3 раза, тоже получится 12.
4 + 4 + 4 = 12
Чтобы найти среднее арифметическое, сложите все величины и разделите результат на их количество.
Сумма чисел всегда равна сумме такого же количества средних арифметических.
Среднее арифметическое никогда не будет больше самого большого из заданных чисел и меньше, чем самое маленькое. К примеру, если даны числа 5,8,99, то среднее арифметическое никогда не будет меньше 5 и больше 99. Представьте 3 стакана с водой: одном налито 5 мл, в другом 8, а в третьем 99 мл. Разольем эту воду по этим стаканам так, чтобы в каждом стало одинаково, ничего не выплескивая и не добавляя. Нам придется из большего добавить в среднее и меньшее, значит большее при нахождении среднего арифметического уменьшится, а меньшее увеличится до одного и того же числа. Эта информация пригодится для самопроверки при решении задач.
Задачи на среднее арифметическое условно можно разделить на 2 типа.
1 — известны величины и их количество, нужно найти среднее арифметическое.
2 — известны суммы и средние арифметические для разного количества величин, нужно найти какое-то число.
Задачи на нахождение среднего арифметического
Задача 1
В течении недели в 8 ч утра Саша измерял температуру воздуха. Он получил такие результаты: 20°С; 18°С; 16°С; 15°С; 14°С; 17°С; 19°С. Найдите среднее значение проведенных измерений.
Решение задачи
(20 + 18 + 16 + 15 + 14 + 17 + 19) : 7 = 119 : 7 = 17
Ответ: 17°С.
Задача 2
Поезд ехал со скоростью 4 ч со скоростью 64 км/ч и 5 ч со скоростью 53,2 км/ч. Найдите среднюю скорость поезда на протяжении всего пути.
Решение задачи
1) 64 * 4 = 256 (км) — проехал поезд за первые 4 часа пути.
2) 53,2 * 5 = 266 (км) — проехал поезд за вторые 5 часов пути.
3) ) 256 + 266 = 522 (км) — длина всего пути.
4) 4 + 5 = 9 (ч) — поезд был в пути.
5) 522 : 9 = 58 (км/ч) — средняя скорость поезда на протяжении всего пути.
Ответ: 58 км/ч.
Задача 3
Автомобиль ехал 3 ч со скоростью 56,4 км/ч и 4 ч со скоростью 62,7 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на всем пути.
Решение задачи
1) 56,4 * 3 = 169,2 (км) — проехал автомобиль за первые 3 часа пути.
2) 62,7 * 4 = 250,8 (км) — проехал автомобиль за вторые 4 часа пути.
3) 169,2 + 250,8 = 420 (км) — длина всего пути.
4) 3 + 4 = 7 (ч) — ехал автомобиль весь путь.
5) 420 : 7 = 60 (км/ч) — средняя скорость автомобиля на всем пути.
Ответ: 60 км/ч.
Задание 4
В автомастерской работает 10 человек. У двоих из них месячная зарплата составляет 22800 р., у четверых — 28000 р., у троих 31000 р., а у одного 32000 р. Какова средняя зарплата работников мастерской?
1) 2*22800 + 4*28000 + 3*31000 + 32000 = 282600 (р.) — получают все работники
2) 282600 : 10 = 28260 (р.) — средняя зарплата работников мастерской
Ответ: 28260 р.
Задание 5
Фермер собрал с каждого гектара поля площадью 30 га по 30,2 ц пшеницы, а с каждого гектара поля площадью 20 га — по 32, 3 ц пшеницы. Какой средний урожай с одного гектара собрал фермер.
Решение
1) 30,2 * 30 = 906 (ц) — пшеницы собрал фермер с первого поля
2) 32,3 * 20 = 646 (ц) — пшеницы собрал фермер со второго поля
3) 906 + 646 = 1552 (ц) — пшеницы собрал фермер с обеих полей
Тут дети часто делают ошибку и делят общее количество пшеницы на количество полей. Но ведь нам нужно найти, сколько центнеров с гектара, поэтому и делить нужно на все гектары, а не на поля.
4) 30 + 20 = 50 (га) — площадь двух полей
5) 1552 : 50 = 31,04 (ц) — средний урожай с одного гектара
Ответ: 31,04 ц пшеницы.
Задание 6
Среднее арифметическое четырех чисел равно 2,1, а среднее арифметическое трех других чисел − 2,8. Найдите среднее арифметическое этих семи чисел.
Решение задачи
Схема для лучшего понимания задачи.
Если упростить условие, то нам даны такие числа и нужно найти среднее арифметическое:
2,1 2,1 2,1 2,1 2,8 2,8 2,8
Это просто, неправда ли?
Среднее арифметическое 4х чисел равно 2,1. Это значит, что если 2,1 взять 4 раза, то получится сумма четырех загаданных чисел.
1) 2,1 * 4 = 8,4 — сумма четырех чисел.
Среднее арифметическое 3х других чисел − 2,8. Это значит, что если 2,8 взять 3 раза, то получится сумма трех других загаданных чисел.
2) 2,8 * 3 = 8,4 — сумма трех чисел.
Мы знаем сумму одних и сумму других, тогда можем узнать сумму всех этих чисел.
3) 8,4 + 8,4 = 16,8 — сумма всех семи чисел.
Чтобы найти среднее арифметическое, сумму величин нужно поделить на их количество. У нас всего 7 чисел, значит делим сумму на 7.
4) 16,8 : 7 = 2,4 — среднее арифметическое этих семи чисел.
Ответ: 2,4.
Задание 7
Среднее арифметическое семи чисел равно 10,2, а среднее арифметическое трех других чисел − 6,8. Найдите среднее арифметическое этих десяти чисел.
Решение задачи
1) 10,2 * 7 = 71,4 — сумма семи чисел.
2) 6,8 * 3 = 20,4 — сумма трех чисел.
3) 71,4 + 20,4 = 91,8 — сумма всех десяти чисел.
4) 91,8 : 10 = 9,18 — среднее арифметическое этих десяти чисел.
Ответ: 9,18.
Задачи на нахождение величины по известному среднему арифметическому
Задача 1
Среднее арифметическое чисел 7,8 и x равно 7,2. Найдите число x.
Решение
Чтобы найти среднее арифметическое, нужно сложить величины и разделить на их количество, в данном случае на 2. Составим уравнение.
(7,8 + x) : 2 = 7,2
7,8 + x = 7,2 * 2
x = 14,4 − 7,8
x = 6,6
Ответ: 6,6
Задача 2
Среднее арифметическое чисел 6,4 и y равно 8,5. Найдите число y.
Решение
(6,4 + y) : 2 = 8,5
6,4 + y = 8,5 * 2
y = 17 − 6,4
y = 10,6
Ответ: 10,6
Задача 3
Среднее арифметическое двух чисел, одно из которых в 4 раза меньше второго, равно 10. Найдите эти числа.
Решение задачи через х
Пусть x − одно число, тогда:
4x − второе число.
Составим уравнение:
(x + 4x) : 2 = 10
5x = 10 * 2
x = 20 : 5
x = 4 − одно число;
4x = 4 * 4 = 16 − второе число.
Ответ: 4 и 16.
Задача 4
Среднее арифметическое двух чисел, одно из которых на 4,6 больше второго, равно 8,2. Найдите эти числа.
Решение
Пусть x − второе число, тогда:
x + 4,6 − первое число.
Составим уравнение:
(x + x + 4,6) : 2 = 8,2
2x + 4,6 = 8,2 * 2
2x = 16,4 − 4,6
x = 11,8 : 2
x = 5,9 − второе число;
x + 4,6 = 5,9 + 4,6 = 10,5 − первое число.
Ответ: 5,9 и 10,5.
Задача 5
Принимая участие в математической олимпиаде, Дима решил 10 задач. За каждую задачу он мог получить не более 12 баллов. За первые восемь задач мальчик получил среднюю оценку 7 баллов. Сколько баллов получил Дима за каждую из оставшихся двух задач, если среднее количество баллов за одну задачу составляло 8 баллов?
Решение задачи
За первые 8 задач мальчик получил среднюю оценку 7 баллов. Это можно представить как
7 7 7 7 7 7 7 7
1) 7 * 8 = 56 (б.) — набрал Дима за первые восемь задач.
Но когда он решил все 10 задач, средняя оценка стала равна 8. То есть стало так:
8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
2) 8 * 10 = 80 (б.) — набрал Дима за все 10 задач.
80 баллов за все задачи и 56 — за первые 8. Можно узнать, сколько баллов он набрал за 2 последние задачи.
3) 80 − 56 = 24 (б.) — набрал Дима за последние две задачи.
Чтобы набрать 24 балла, можно решить 2 задания на 14 баллов и 10 баллов, на 16 баллов и 8 баллов, на 12 и 12 баллов и так далее. Но больше 12 баллов за 1 задание не давали, значит подходит только 1 варант — 12 и 12 баллов.
4) 24 : 2 = 12 (б.) — набрал Дима за каждую из оставшихся двух задач.
Ответ: по 12 баллов.
Задача 6
Автомобиль ехал 3,4 ч по шоссе со скоростью 90 км/ч и 1,6 ч по грунтовой дороге. С какой скоростью ехал автомобиль по грунтовой дороге, если средняя скорость на протяжении всего пути составляла 75,6 км/ч?
Решение задачи
Вспоминаем формулу пути S = v * t, где
v — это средняя скорость, а t — время, затраченное на весь путь. Найдем время и длину всего пути.
1) 3,4 + 1,6 = 5 (ч) — общее время в пути.
2) 75,6 * 5 = 378 (км) — длина всего пути.
Найдем, сколько проехал автомобиль по шоссе и грунтовой дороге.
3) 90 * 3,4 = 306 (км) — проехал автомобиль по шоссе.
4) 378 − 306 = 72 (км) — проехал автомобиль по грунтовой дороге.
Знаем путь по грунтовке, знаем время по грунтовке, из формулы пути выразим скорость по грунтовке v = S : t , где
S — путь по грунтовой дороге, t — время по грунтовке.
5) 72 : 1,6 = 45 (км/ч) — скорость автомобиля по грунтовой дороге.
Ответ: 45 км/ч.
Задача 7
Купили 2 кг конфет одного вида по 255 р. за килограмм, 4 кг конфет второго вида по 285 р. за килограмм и еще 3 кг конфет третьего вида. Средняя цена купленных конфет составляла 260 р. за килограмм. Сколько стоил килограмм конфет третьего вида?
Решение задачи
Опять же, если схематически записать все только цифрами:
255 255 285 285 285 285 ? ? ?
260 260 260 260 260 260 260 260 260
Из среднего арифметического сразу можем узнать, сколько потратили на конфеты всего денег:
1) 2 + 4 + 3 = 9 (кг) — конфет купили всего.
2) 260 * 9 = 2340 (р.) — потратили на конфеты всего.
Дальше задача решается очень просто и знакомо. Известно, сколько заплатили всего, можем найти стоимость конфет 1 и 2 вида, сложить их и найти стоимость и цену конфет 3-го вида.
3) 255 * 2 = 510 (р.) — потратили на конфеты первого вида.
4) 285 * 4 = 1140 (р.) — потратили на конфеты второго вида.
5) 510 + 1140 = 1650 (р.) — потратили за конфеты первых двух видов.
6) 2340 − 1650 = 690 (р.) — потратили на конфеты третьего вида.
7) 690 : 3 = 230 (р.) — стоил килограмм конфет третьего вида.
Ответ: 230 рублей.
Задача 8
Средний возраст одиннадцати футболистов команды равен 22 годам. Во время игры одного из футболистов удалили с поля, после чего средний возраст оставшихся игроков составил 21 год. Сколько лет было футболисту, который покинул поле?
Решение задачи
Условно будет выглядеть так:
22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22
21 21 21 21 21 21 21 21 21 21
1) 22 * 11 = 242 (г.) — суммарный возраст одиннадцати футболистов.
2) 11 − 1 = 10 (иг.) — осталось на поле.
3) 21 * 10 = 210 (лет) — суммарный возраст десяти футболистов.
Зная сумму возрастов всех футболистов и сумму без одного футболиста, легко найти возраст выбывшего футболиста.
4) 242 − 210 = 32 (г.) — было футболисту, который покинул поле.
Ответ: 32 года.
Калькулятор для нахождения среднего арифметического
Ну вот, вроде разобрали основные примеры очень подробно. Если остались вопросы, задавайте в комментариях.
Источник: